Ноль — это чётное число или нечётное? Самые простые доказательства
Понятие чётности чисел изучается в школе в начальном курсе арифметики. Тем не менее, многие затрудняются ответить на вопрос является ли ноль чётным числом. Причем, определенная часть человечества полагает, что ноль не относится ни к чётным, ни к нечётным числам. Так какое это число, чётное или нет?
Простейшие числа, используемые в быту — это числа, которые применяются для счета предметов, их называют натуральными (естественными). Появились они в глубокой древности, ведь уже египетские жрецы были хорошими математиками (пирамиды просто так, без расчётов, построить невозможно). Число 0 обычно не относят к натуральным, ведь отсутствие предметов посчитать невозможно. Вот математики античности и обходились без ноля.
Ввёл число ноль индийский математик и астроном Брахмагупта, живший в VII веке, как результат вычитания из числа самого себя. Впоследствии ноль распространился в арабском мире, а затем в Западной Европе.
Стандартным определением чётности числа является его делимость на 2 без остатка:
здесь остатка нет, значит числа 2 и 18 являются чётными.
А вот 2019/2=1009 (ост. 1), ну раз здесь имеется остаток, то и число 2019 нечётное.
Теперь разберёмся с 0:
никакого остатка нет, следовательно, 0 число чётное, по определению (в математике важным является доказательство какого-нибудь понятия по определению).
А вот 0 на 2 можно делить бесконечно, всегда в результате деления будет получаться 0, который в свою очередь можно разделить на 2. Так что в плане взглядов античных математиков 0 является самым чётным числом.
Разобраться с понятием чётности ноля можно и по-другому
Чётные и нечётные числа чередуются между собой — 1, 3, 5, 7. нечётные. А 2,4, 6, 8. являются чётными. Никто не запрещает продолжить подобную закономерность не только в сторону плюс бесконечности, но и в направлении минус бесконечности.
Нагляднее всего чётность ноля окажется видна, если рассуждать при помощи чередования чётных и нечётных чисел на обычной числовой прямой.
Определиться с чётностью введенного Брахмагуптой числа можно и при помощи математических правил:
Известно, что сумма двух чётных чисел является числом чётным, а если сложить чётное и нечётное число, то и получится нечётное.
Проиллюстрируем это на примере:
Числа 6 и 8 являются чётными, их сумма равна 14. А 14 число чётное, поскольку 14/2=7.
С другой стороны, число 7 нечётное. 6+7=13, 13 число нечётное, ведь 13/2=6 (ост. 1). Ну а если к любому чётному числу прибавить 0, то само исходное число не изменится, следовательно, сумма этого числа и ноля останется чётной, а значит и 0 чётное число.
В заключение пара забавных фактов.
В университете Южной Флориды в своё время проводился опрос, в котором на вопрос «Является ли 0 чётным числом?» примерно две трети преподавателей ответили отрицательно. Надо думать, что преподавателей психологии в этом учебном заведении мало интересуют даже элементарные знания в математике. А вот в рулетке «зеро» (0) к чётным числам не относится. Казино нужно иметь свою прибыль 😉
В математике 0 – это не ничто. Это значение, с которым можно выполнять разные алгебраические операции. И именно поэтому 0 стоит называть «нулем», но никак не «ничем». Но к каким числам его можно отнести: к четным или нечетным? Вот так сходу на этот вопрос вряд ли удастся ответить.
С одной стороны, четность или нечетность целого числа определяет его последняя цифра, поэтому можно сразу сказать, что число 1569 является нечетным, а 34568 – четным. По этой логике можно рассмотреть, например, два числа – 19 и 20. Первое из них является нечетным, а идущее за ним число 20 – четным. Несложно заметить, что число 20 оканчивается на 0, поэтому можно подумать, что и 0 – это четное число.
Главное свойство четных чисел заключается в том, что они нацело делятся на 2. Если разделить 0 на 2, то получится ноль без добавлений и дробей. Получается, что 0 – это самое четное число. В Древней Греции были понятия единожды, дважды и так далее четное число. К примеру, 20 является дважды четным, так как 20 разделить на 2 равно 10, где десять тоже четное число, которое при делении на 2 дает нечетное 5.
Ноль является бесконечно четным, потому что его можно бесконечно делить на 2, получая каждый раз все тот же 0.
Кстати, четным является любое целое число, которое при умножении на 2 остается четным. Если умножать 0 на 2, то снова получится 0. Есть правила, связанные с четными числами. Если сложить два четных числа, то получится опять же четное число, что с нулем отлично работает, так как 4+0=4.
Определение четности целого числа — числа, которое можно записать без остатка или дробного компонента — так же просто, как задать один вопрос: делится ли число на 2?
Итак, в какую категорию попадает число «0»?
Большинство людей смущены числом 0, неуверенны, является ли это целое число с самого начала, и не подозревают о его размещении как числа, потому что оно технически означает пустой набор.
По правилам паритета, ноль четный или нечетный?
Как целое число, которое может быть записано без остатка, 0 классифицируется как целое число. Таким образом, чтобы определить, является ли оно четным или нечетным, мы должны задать вопрос: делится ли 0 на 2?
Число делится на 2, если результат его деления на 2 не имеет остатка или дробного компонента — другими словами, если результат является целым числом.
Давайте разберемся с этим.
Когда вы говорите о делении числа, каждая часть уравнения имеет конкретное назначение и имя в зависимости от того, что она делает. Например, возьмем простое деление на два: 10 ÷ 2 = 5.
В этом уравнении число 10 является делителем, или числом, которое делится; число 2 — это делитель, а число 5 является частным или результатом уравнения.
Поскольку частное этого деления на 2 является целым числом, число 10 оказывается четным. Если бы вы делили, скажем, 101 на 2, частное было бы 50,5 — не целое число, тем самым классифицируя 101 как нечетное число.
Рассмотрим 0 так же, как и любое другое целое число. Когда 0 делится на 2, результатом оказывается также 0 — целым числом, тем самым классифицируя его как четное число.
Хотя многие классифицируют ноль, как вовсе не число, но быстрая арифметика устраняет путаницу вокруг числа, причем даже четного.
Читайте также
Комментарии
Представь себя на краю бассейна вниз идет лестница на дно и вверх идет лестница на первый этаж. Теперь попробую пройтись по той и той лестнице не задерживая дыхания… Ну, и где здесь чет или нечет?
АФФФтар, фиеричный Идиот!
Для того что бы число было четным оно должно быть больше или хотя бы равным 2. — это раз! Любое число меньше единицы уже по умолчанию дробное, т. е. он не может быть четным или нечетным — оно ДРОБНОЕ! — это два! Цифра 0 обозначает отсутствие числа, т. е. обозначает ничто. И необходимо только для записи чисел. Пример: Цифра 10 показывает числа в разрядах т. е. описывает, что количество десятков в нем один, а в единицах числа отсутствуют. цифра 0,1 говорит, что числа в единицах отсутствуют, а в первом разряде после запятой их 1… Это — 3!
Этот пост навеян срачем в комментариях к посту: http://pikabu.ru/story/_3811167 Так как я сам себя причисляю к категории людей, изучающих и любящих математику, у меня «бомбануло» от идей, которые озвучивали некоторые пикабушники.
Сразу оговорюсь, что содержание поста придумано задолго до моего рождения и не является моим интеллектуальным творчеством. Я только лишь адаптировал весь текст для понимания как можно более широкой аудитории. Поэтому, не ставьте плюсов, если содержание поста показалось Вам гениальным. Но я буду рад, если вы найдете неточности и/или ошибки в содержании поста(надеюсь, что их будет немного).
Все не влезло. Продолжение в комментариях.
Мой вариант: целое число m является четным, если существует такое целое число k, что m = 2 * k.
//на самом деле вместо знака равенства используется знак тождественного равенства, он же «тройное равно», но у меня не получилось его сюда вклинить//
Следуя этому определению все числа, делящиеся на 2 сравнимы с 0 по модулю 2, а числа не делящиеся на 2 сравнимы с 1 по модулю 2.
Определение 8. Числа, сравнимые с 0 по модулю 2 называют четными, числа сравнимые с 1 по модулю 2 называют нечетными.
Спасибо за внимание.
Что-то я не понял вообще о чём здесь столько букв написано, что в посте, что в комментариях. Разве не очевидно, что 0 делится на 2 без остатка?
Приятно. Математика — редкий гость на Пикабу.
Меня в своё время дико удивила казуистическая идея о нечётности нуля. Чисто практически он чётный.
Как учитель начальных классов по образованию. И работавший какое-то время по специальности.
Минус нуля не бывает.
Чётное число можно получить путём умножения другого числа на 2. Это непременно обязательно.
И для проверки, обратно
При этом получившееся число должно быть больше изначальной.
Так учат в начальных классах.
Кому нужны эти простые числа
Не холивара ради, а просто цитата из книги Оре Ойстена «Приглашение в теорию чисел» 1967-го года.
Условности математики
В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в вуз, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определенный способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана.
В 1913 году известный профессор Кембриджского университета Годфри Харди получил письмо от Рамануджана, в котором Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживленная переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, не известных науке. По настоянию Харди в 27-летнем возрасте Рамануджан переехал в Кембридж. Там он стал профессором университета, его выбрали в Лондонское королевское общество. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег. Годфри Харди:
В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана». Многие математики его времени считали Рамануджана просто экзотическим явлением, опоздавшим родиться на 100 лет. Не перестают удивляться проницательности индийского гения и математики нашего времени. Одна из цепных дробей, найденных Рамануджаном:
Но самой известной его работой, совместная с профессором Харди, является работа по асимптотике разбиения натуральных чисел. То есть представление какого-либо натурального числа N в виде суммы других натуральных чисел.
Например, <3,1,1>или <3,2>— разбиения числа 5, поскольку 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всего существует p(5) = 7 разбиений числа 5: <1,1,1,1,1>, <2,1,1,1>, <2,2,1>, <3,1,1>, <3,2>, <4,1>, <5>. Формула Харди-Рамануджана:
Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции. + множество формул,теорем и равенств в теории чисел. Сам Рамануджан говорил, что формулы ему во сне внушает богиня Намагири Тхайяр. Умер в Мадрасском президентстве вскоре после возвращения в Индию. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугубленный последствиями недоедания, истощения и стресса.
Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах и числах.
Задачи для практики
Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четность и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.
Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?
Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?
Посчитаем, сколько в сумме конфет шоколадных и с карамелью: 15 + 12 = 27 (к)
Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом. 17 — нечетное число.
Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у Маши изначально было фотографий?
Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.
Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.
